|
Örnek
f={(x,y):y=3x−4;x∈R,y∈R} bağıntısı bir fonksiyon mudur?
Çözüm
∀x∈R için y=3x−4∈R olduğundan f bağıntısı bir fonksiyondur.
Örnek
f={(x,y):|y|=x+1;x∈R,y∈R} bağıntısı bir fonksiyon mudur?
Çözüm
Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için bir elemanın sadece bir görüntüsü olması gerekir. x yerine örneğin 0 verdiğimizde |y|=1 olur. Buradan da y=1 ve y=−1 değerleri çıkar, tanım kümesinden bir eleman değer kümesinden iki elemanla eşleşmek zorunda kalır.
Örnek
A={−3,−2,−1,0,1} f:A→R x→y=f(x)=1+xx−2 fonksiyonu veriliyor. f(A) görüntü kümesini ve fbağıntısının elemanlarını yazınız.
Çözüm
f(−3)=25,f(−2)=14,f(−1)=0,f(0)=−12,f(1)=−2
f(A)={25,14,0,−12,−2}
f={(−3,25),(−2,14),(−1,0),(0,−12),(1,−2)}
Örnek
f:R→R,f(4)=5,f(x+2)=xf(x)−3 olduğuna göre f(8) kaçtır?
Çözüm
f(6)=f(4+2)=4f(4)−3=4⋅5−3=17 f(8)=f(6+2)=6f(6)−3=6⋅17−3=99
Örnek
f(x)=4+f(x−1) ve f(1)=3 ise f(15) kaçtır?
Çözüm
f(x)=4+f(x−1)⇒f(x)−f(x−1)=4 x=2⇒f(2)−f(1)=4 x=3⇒f(3)−f(2)=4 x=4⇒f(4)−f(3)=4 ⋮ x=15⇒f(15)−f(14)=4 f(15)−f(1)=14⋅4=56 f(15)=56+3=59
Örnek
f:R→R,f(3x−4)=x3−5−−−−−√+x ise f(5) kaçtır?
Çözüm
3x−4=5⇒x=3⇒f(5)=33−5−−−−−√+3=16−−√+3=7
Örnek
f:R→R f(2x+2)={3x+4,x<2x3−2x,x≥2 Yukarıdakilere göre f(6)+f(−4) kaçtır?
Çözüm
2x+2=6⇒x=2,f(2⋅2+2)=f(6)=23−2⋅2=4 2x+2=−4⇒x=−3f(2⋅(−3)+2)=f(−4)=3⋅(−3)+4=−5 f(6)+f(-4)=4+(-5)=-1$
Örnek
f:R2→R,f(x,y)=min(x2−1,xy+1) g:R2→R,g(x,y)=max(x+2y+1,2x−y) yukarıdaki fonksiyonlara göre 2f(−3,−2)+g(3,2) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm
f(−3,−2)g(3,2)=min((−3)2−1,(−3)⋅(−2)+1)=min(8,7)=7=max(3+2⋅2+1,2⋅2−2)=max(8,2)=8
2f(−3,−2)+g(3,2)=2⋅7+8=22
Örnek
f(x)=x2+1 fonksiyonu birebir bir fonksiyon mudur?
Çözüm
f(x) fonksiyonu birebir değildir çünkü görüntü kümesindeki her bir eleman tanım kümesindeki tek bir x ile eşleşmez. Örneğin x yerine 2 veya −2 , f(2)=5 f(−2)=5 , koyduğumuzda fonksiyondan çıkan sonuç 5 olur, tanım kümemizdeki iki değerin de değer kümesindeki görüntüsü aynıdır, bu yüzden birebir değildir.
Örnek
f:R→R f(x)=(4a+4)x2+(b−3)x+3a−2b sabit bir fonksiyon olduğuna göre, f(5) kaçtır?
Çözüm
f(x) fonksiyonu sabit bir fonksiyondur, yani tanım kümesindeki tüm elemanların değer kümesinde eşleştiği tek bir eleman olmalıdır. Bu durumda x yerine ne koyarsak koyalım çıkan sonucun değişmemesi lazım olduğuna göre x'li tüm ifadelerin katsayısı 0 olmalıdır. x'li ifadelerin katsayıları
4a+4ab−3b=0=−1=0=3
sonucuna ulaşırız.
f(x)f(x)=0⋅x2+0⋅x+3⋅(−1)−2⋅3=−9
Bu durumda x yerine ne koyarsak koyalım alacağımız sonuç aynı olur ve f(5)=−9'dur.
Örnek
f:R→R f(x)=(3a+8)x+2a−3b birim fonksiyon olduğuna göre, a⋅b kaçtır?
Çözüm
f(x) fonksiyonunun birim (özdeş)fonksiyon olması için f(x)=x olmalıdır, bu durumda
3a+8a2a−3b2⋅(−73)−3bba⋅ba⋅b=1=−73=0=0=−149=(−73)⋅(−149)=9827
sonucuna ulaşırız.
Örnek
f doğrusal bir fonksiyondur.
f(3)f(−2)=8=−7
olduğuna göre, f(5) kaçtır?
Çözüm
Bir fonksiyonunun doğrusal olması için, fonksiyonun kartezyen düzlemdeki grafiğinin bir doğru oluşturması gerekir. Bunun için fonksiyon f(x)=ax+b şeklinde olmalıdır.
f(3)=8f(−2)=−7üstteki ifadeden alttaki ifadeyi çıkarırsak,5a3⋅3+bb→3a+b=8→−2a+b=−7=15⇒a=3=8=−1
sonucuna ulaşırız. f(x)=3x−1 ve f(5)=14
Örnek
f doğrusal bir fonksiyondur. f(x+3)+f(4x+5)=10x olduğuna göre, f(x) nedir?
Çözüm
f(x) doğrusal ise f(x)=ax+b şeklinde olmalıdır.
f(x+3)=a(x+3)+b=ax+3a+bf(4x+5)=a(4x+5)+b=4ax+5a+b
f(x+3)+f(4x+5)ax+3a+b+4ax+5a+b5ax+8a+2b=10x=10x=10x
5axa=10x=28a+2b8⋅2+2bb=0=0=−8
sonucuna ulaşırız. Böylece f(x)=2x−8 olur.
Örnek
f:R→R f(x)=3x2−3 fonksiyonu çift fonksiyon mudur?
Çözüm
f(x)=3x2−3 olduğuna göre,
f(−x)=3(−x)2−3=3x2−3=f(x)
f(−x)=f(x) olduğundan f çift fonksiyondur.
Örnek
f:R→R f(x)=5x3−x fonksiyonu tek fonksiyon mudur?
Çözüm
f(x)=5x3−x olduğuna göre,
f(−x)=5(−x)3−(−x)=−5x3+x=−f(x)
f(−x)=−f(x) olduğundan f tek fonksiyondur. Bir fonksiyonun tek fonksiyon olması demek çift dereceli terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır, çift olması için de tek dereceli terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır.
Örnek
f:R→R f(x)=(4a+8)x3+(2b−2)x2+(3b−6)x+a−2b fonksiyonu çift fonksiyon olduğuna göre f(2)değeri nedir?
Çözüm
f(x)=(4a+8)x3+(2b−2)x2+(3b−6)x+a−2b çift olması için sadece çift dereceli terimlerden oluşması gerekir. Yani tek dereceli terimlerin katsayıları 0 olmalıdır.
4a+8a=0=−23b−6b=0=2
f(x)f(x)=0⋅x3+2x2+0⋅x−6=2x2−6
f(2)=2⋅22−6=2
Örnek
A={0,1,2,3,4,5} B={−2,−1,0,1,4,7} kümeleri veriliyor.
fg:A→R:B→Rf(x)g(x)=x+2=x2−5
olduğuna göre, f+g toplam fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?
Çözüm
f+g toplam fonksiyonu A∩B={0,1,4} kümesinde tanımlıdır. Bu yüzden 0, 1 ve 4'ün görüntülerini bulmalıyız.
(f+g)(0)=f(0)+g(0)=0+2+0−5=−3
(f+g)(1)=f(1)+g(1)=1+2+1−5=−1
(f+g)(4)=f(4)+g(4)=4+2+16−5=17
Bu durumda f+g toplam fonksiyonunun görüntü kümesi {−3,−1,17} olur.
Örnek
A={0,1,2,3,4,5} B={−2,−1,0,1,4,7} kümeleri veriliyor.
fg:R→R:R→Rf(x)g(x)=x3+3=3x+2
olduğuna göre, (2g+f⋅g−3)(2) ifadesinin değeri nedir?
Çözüm
g(x)=3x+2g(2)=3⋅2+2=8
f(x)=x3+3f(2)=23+3=11
(2g+f⋅g−3)(2)=2g(2)+f(2)⋅g(2)−3=2⋅8+11⋅8−3=101
Örnek
f={(1,−2),(2,3),(4,0),(8,5)} olduğuna göre, f−1(3)+f(4)−f−1(5) ifadesinin değeri nedir?
Çözüm
ff(2)f(4)f(8)={(1,−2),(2,3),(4,0),(8,5)}=3 ise =0=5 ise f−1(3)f−1(5)=2=8
Bu durumda
f−1(3)+f(4)−f−1(5)=2+0−8=−6
Örnek
f(2x+3)=3x−4 olduğuna göre, f(1)+f−1(5) ifadesinin değeri nedir?
Çözüm
2x+3x=1→=−1→xf(−1)=−1=3⋅(−1)−4=−7
f(2x+3)x=3x−4→=3f−1(3x−4)3x−4→f−1(5)=2x+3=5→x=3=2⋅3+3=9
Bu durumda
f(1)+f−1(5)=−7+9=2
ÖRNEKf:A→R , f(x)=2x+3 ve A={-1,0,1,2,3} olduğuna göre f(A) görüntü kümesi nedir?
Çözüm: f(x)=2x+3 olduğundan bize sorulan f(A)=2A+3 budur.
x=-1 için f(-1)=2.(-1)+3 = 1
x=0 için f(0)=2.(0)+3 =3
x=1 için f(1)= 2.(1)+3=5
x=2 için f(2)=2.(2)+3=7
x=3 için f(3)=2.(3)+3 =9
Buradan görüntü kümesi ; f(A)={1,3,5,7,9} bulunur.
§ fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre f(1000) kaçtır ?
Çözüm: f fonksiyonu sabit bir fonksiyon olduğundan
a+3b+8=0 ve a-5b=0 olmalıdır.
a-5b=0 olduğundan a=5b olur.
diğer denklemde yerine yazdığımızda 5b+3b+8=0 buradanda b=-1 elde edilir ve a=-5 olur.
§ f(x)=3x ise f(2x+3) fonksiyonunun f(x) türünden eşiti nedir ?
Çözüm: f(2x+3) fonksiyonunda x gördüğümüz yere 2x+3 yazalım. Yani ;
f(2x+3)=32x+3 olur. Burdan üslü ifadeyi düzenleyelim f(2x+3)=32x.33 =(3x)2.27
Sorunun başında f(x)=3x olduğu verilmiş buna göre f(2x+3)=(3x)2.27=(f(x))227
Düzenlersek f(2x+3)=27.f(x)2 veya f(2x+3)=27.f2(x)
§ fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre a+b+c toplamı kaçtır ?
Çözüm: Birim fonksiyon için f(x)=x olmalıdır.
buradan a+b-3=0 -(a-1)=1 ve c+4 =0 yazarız.
a=0 b=3 ve c=-4 elde edilir.
a+b+c=-0+3+(-4)=-1 elde edilir.
Çözüm: olduğu görülür.
buradanda;
bulunur.
§ f:R→R fonksiyon olduğuna göre f(x+1)=(x+1).f(x) ve f(1)=2 ifaderleri verilsin. Buna
göre f(5) değeri kaçtır ?
Çözüm: Merdiven tipi fonksiyon soruları çözülürken soruda bize verilen f(1)=2 ifadesi kullanılıp değer veririz.
x=1 için f(2)=2.f(1) olur. f(1)=2 olduğundan yerine yazalım. f(2)=4 olur.
x=2 için f(3)=3.f(2) olur. f(2)=4 olduğundan yerine yazalım. f(3)=12 olur.
x=3 için f(4)=4.f(3) olur. f(3)=12 olduğundan yerine yazalım. f(4)=48 olur.
x=4 için f(5)=5.f(4) olur. f(4)=48 olduğundan yerine yazalım. f(5)=240 olur.
§ g(x)=2x-4 ve (gof)(x)=6x+10 olduğuna göre, f(x) aşağıdakilerden hangisine eşittir ? (Bileşke Fonksiyon)
Çözüm: Öncelikle bir iki özellik hatırlayalım (fog)(x)=f(g(x)) şeklinde yazılıp g(x) sonksiyonu f fonksiyonu içine alınabilir.
(gof)(x)=6x+10
g(f(x))=6x+10
g fonksiyonun kuralı 2x-4 yani 2 ile çarp 4 çıkart bunu f(x) için uygulayalım.
g(f(x))=2f(x)-4=6x+10
2f(x)-4=6x+10
2f(x)=6x+14 her yanı 2 ile bölelim.
f(x)=3x+7 olur.
http://esrefgultas.tr.gg/
|
